周りにある数字について考えてみました

数の数え方についてまとめてみました

専門的にならない程度の数字に関するの話題として、ここでは、大きな数、小さな数について取り上げてみてみましょう。

大きな数

ロゴに書いた、これはなにか・・・ご存知ですね。
大きな数の位取り単位

上は、kilo mega giga tera peta exa zetta yotta という、日本でも基本的に用いられる国際単位系の接頭語で、下は「塵劫記」という書物に書かれた、一十百千万に続く、非常に大きな数です。

大きな数は、一般的には、「10の何乗」という言い方をしますので、メガは10の6乗(106)です。

漢数字表記では100万(1,000,000)となり、英語表記では1million(ミリオン)になります。


日本では4桁区切りを小学校で習ったのですが、一般的には、すべて1000倍(103)の3桁区切りで単位が移っていきます。

表示の下側にある大きな数の 恒河沙(こうがしゃ)阿僧祇(あそうぎ) ・・・は、一十百千万・・・のずっと後に続く大きな数の単位で、これらは実際に用いられることはありませんが、使わなくても「数(の単位)がある」ということはすごいことだと思います。下のように、1行では表せないほどの、すごい桁数です。

yotta=10000000000000000000000000

無量大数=100000000000000000000000000000000
              0000000000000000000000000000000000000

ここにある接頭語の「yotta」は10の後ろに0が24個もつく大きな数で、無量大数は10の後ろに0が68もつく数ですので、いずれも、気の遠くなるような数といえます。

近年では、記憶容量などで目にするようになった「テラバイト」ですが、これは、1,000,000,000,000バイト というすごい数です。(これについては、少し余談があります。後ほど)

キロ・メガ・ギガ・・・は1000ずつ3桁で単位が変わります。 日本の数は10000ずつの4桁で変わっていくのですが、グローバル化もあって、3桁区切りが主流になってきているようですが、これは慣れるしか仕方がないのでしょう。

そして日本(および近隣諸国)には、この「国際単位系」にない、すごい数があることにびっくりしますし、ちょっとした優越感も感じます。

英語では、百(hundred) 千(thousand)の次は 百万(million)  10億(billion)  兆(trillion) という言い方で増えていきます。(それ以上については、見ることがないようです?)


しかし、このbillionは、イギリスでは、10億ではなく1兆を表していて、それが次第にアメリカ式になって移っているという状況も(イギリス人にとっては)変な感じでしょうね。

とにかくこの、3桁ごとに単位が変わっていくのがこれからの標準になっていくような感じのようですので、なれていく必要がありますね。(しかし、日本語の億兆などの4桁区切りの言い方は変わらないで今後も使われていくのは間違いないでしょうから、これもややこしいことです)

私が小学校で最初に位取りを習ったときは、1000,0000,0000のように4桁区切りで教えられました。それが、中学高校と進むにつれて、知らない間に100,000,000,000と3桁区切りになっていました。

現在の「そろばん」を見ると、3桁区切りです。古いそろばんをWEBで見てみると、その多くは単位が書かれていることから、現在のそろばんは、会計数字などを見るとわかるように、用途に応じて使いやすいように進化していると考えられますし、やはり、日本でも、3桁区切りのほうが標準になっているということでしょう。

4桁のそろばん

古いそろばん(WEBより)

このように、世の中には、時代とともに変わっていく、不思議なことがたくさんあるのですが、ここからは、テラバイトなどに関係する2進数について取り上げます。


ここまでは10進数での話でしたが、コンピュータの世界では2進数が基本です。

0,1,10,11,100・・・と増えていく世界では、2の10乗(1024)を1キロバイトとしているのでややこしいことです。(つまり、Kは1000ではありません)

これは、不思議で不可解ですが、世の中はこれで動いていますので、悩んでも仕方がありません。

「キロ」というのは、10進数では1000倍の接頭語ですが、2進数では習慣的に、2の10乗の1024が1キロバイトとして扱われる・・・と覚えないといけません。

このために、混乱を避けるために、2進数を表すバイナリーを後ろにつけて、「キロバイナリーバイト(略してKiBまたはKibi:キビバイト)と呼ぶように定められています。

しかし、これはあまり普及していないようで、一般的には、「メガバイト」「テラバイト」などと書いてあっても、断り書きのないものも多く、例えば、メガバイトが1,024,000バイトなのか1,000,000バイトなのかがはっきりしない場合も多いようです。

ほとんどは、「大して違わない『大きな数』」と思って、気にすることも少ないのですが、さらに加えて、「1バイト=8ビットです・・・」というと、ますます混乱するかもしれません。

場合によって、ビットまでを考えるのか、2進数か10進数なのか・・・などを意識しないといけないことになります。

そして、この2進数の情報関連の世界では、10進数の接頭語のyotta(10の24乗)以上の数字が存在します。Kibi bite(記号はKiB)が210(1024バイト)で、

Mebi Byte(記号Mi=220
Gibi Byte(記号Gi=230
Tebi Byte(記号Ti=240
Pebi Byte(記号Pi=250
Exbi Byte(記号Ei=260
Zebi Byte(記号Zi=270
Yobi Byte記号(Yi=280
などの呼び方があるのですが、最も大きいYobi Byteは、280=1,208,925,819,629,174,706,176バイトという、とてつもなく大きい数字です。

しかし、10進数にすると、これは1024程度の数ですので、日本の「無量大数1068」から考えると、そんなに大きいように感じないことも変ですね。

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現実的に大きな数字

ちなみに、とてつもない大きな数字の筆頭は「光年」という単位の持つ内容でしょう。

光が1年間に進む距離が「光年」で、30万kmx60x60x24x365≒9460800000000kmです。

しかしこの数字でも、およそ1013km≒10テラkm≒10trillionという大きさです。

もっと大きい数字では、測定できる宇宙の果てまでの距離は138億光年と言われている数字や、さらに、半径450億光年が観測できる宇宙とされていますので、宇宙の直径はおよそ1000億光年・・・などの数字もあります。

これを距離にすれば、1025km(1031mm)という数字が現実的に考えられる「大きな数の限度」ということになるかもしれません。

また反対の、微小な数字では、宇宙物理学や原子物理学の世界では、「プランク単位系」での表し方というのがあります。

その中に「プランク長(プランク長さ)」というものがあり、光がプランク時間で進む距離で長さを表すのですが、上の宇宙の直径を表すと、1061プランク長という数字が出てきます。

多分これが、現在の人類が遭遇する最大数字のような気がします。

さらに日本には「無量大数」という数字が・・・

この無量大数は 1068 という、とてつもない大きな数字ですが、江戸時代に書かれた「塵劫記」の中に書いてあるようです。

これはもう、ご先祖様のロマンという意外の何物でもないという感じですね。

ちなみに、これらの大きな単位については、1960年の国際度量衡総会で 10の12乗のテラ(tera)までが決められて、1991年に10の24乗のヨタ(yotta)までの拡大されて決められたのですが、大きな数字が必要な「情報の2進数」について決めておけば、あとは、数学的に10のn乗として表せるので、この yotta以上の数の単位は必要ではなかったということなのでしょうか、それ以降は固有の大きな単位の呼び方は増えていないようです。

次に、先程少し出てきた「小さな数字単位」についても奥が深いので、簡単に見ていきましょう。

小さな数

日本では、1以下の数は、野球の打率などの「分・厘・毛・・・」が現在でも聞かれます。

分は0.1、厘は0.01、毛は0.001の単位ですが、これらの呼び方自体もあまり使われなくなっていますね。(0.1は10-1、0.01は10-2と表示します)

この小さい単位についても、「塵劫記」に示されていたようで、1627年に数学者の吉田光由という人が、中国の「算法統宗」というものを参考にまとめた中の「単位の分類(命数法)」に書かれているのが一般的になっているようですが、新しい改定版が出版されるごとに内容が変わっていたことなどもあって、いろいろな記述内容があったらしく、ここでは、差し障りのない共通的な部分だけを紹介します。

最も小さいという単位では、「虚・空・清・浄」という単位の文字がHPなどの記事中に見られます。 

この中では「浄」が最小で、10のマイナス23乗(10-23)というのですから、頭で考えても想像さえできません。

塵劫記にはその他に、小さい数字を表す単位に「微(10-3)」「塵(10-9)」「埃(10-10)」「刹那(10-18)」等の小さな感じがする意味合いの漢字があるのも興味深いですね。(詳しくは他のHPなどでお探しください)

通常の機械的な測定器や光学顕微鏡では、1マイクロメータ(ミクロン:1/1000mm:記号μ)程度が確認できる最小長さで、話題の「コロナウイルス」は100nm(0.1マイクロメータ)という、電子顕微鏡でないと見えない大きさということになります。

さらに、見に見えない「原子」などの単位は、オングストローム(0.00000001:10のマイナス8乗:記号A)で表されます。

ナノ」はオングストロームよりも小さい単位で、10のマイナス9乗ですので、想像できない大きさの領域ですが、コンデンサの容量などでは、ナノより小さいピコという単位が通常的に使われています。

これは電気容量を表す ピコファラッド(pF) というものですが、さらに、10の-15乗のフェムト(f)という単位も、レーザー加工機の波長などで、「フェムト秒」という言葉を聞くことがあります。

もっとも小さい単位では、国際単位系の接頭語では10の-24乗のヨクトyocto(y)という単位が定められていますが、普段聞くことはありません。

しかし、現代物理学では、更に小さい単位があります。それが「プランク単位」でしょう。

先程の「プランク長」になると、10のマイナス35乗メートル(10-35)という数字なのですが、それが、現在で考えられる、最小の長さ単位の数字と言えるようです。

もっとも、シュワルツシルト半径などに関係する記事には、プランク長以下のものが存在するという理論もあるようですが、いずれにしろ、人間には認識できない小ささです。



現在では、原子の内部構造までがわかるようになってきていますので、そんなに遠くない将来には、10-24のヨクトという単位の言葉を聞くようになるかもしれませんね。

英語などでの数字の読み方は難しい

日本語でも「いち に さん・・・」の他に「ひとつ ふたつ みっつ・・・」という言い方があります。 この言い方の多様さが結構、日本語を学ぶ外国人には難しいということのようです。

しかし反対に、英語にはいろいろな言い回しがあるために、私自身も、長く英会話を習っているのですが、未だに数字を話すときになると、口ごもってしまいます。たとえば、・・・

①one two three ・・・ eleven twelve thirteen・・・ twenty thirty forty・・・ と、固有の数字を一つづつ覚えなければなりませんし、数字の桁数が多くなると、読み方もわかりにくく、すぐに口に出てきません。

②よく使う1万円は ten thousand yen、1億円は one hundred million yen ・・・と、いつまでたっても位取りの違和感が抜けないのも困りものです。

③さらに、電話番号や地番、年号などが、いろいろな違ったいい方で発音されます。

例えば、電話番号では、123-200-0010 はone two three,two zero zero,zero zero one zero と言うときもあれば、ゼロをオーと言ったり、ゼロゼロをdouble ohやdouble zero など、その時々の感じで言われるのですが、ともかく、英会話学習についていくのが目一杯の状態です。

さらに、最後のzero zero one zero をdouble oh ten となどと言われると、頭がパニックになってしまうのですが、皆さんはOKですか?

年号の英語表現もわかりにくいですね

2019年は twenty nineteenですが、2000年はtwenty hundred、2001年はtwenty one ではなく、twenty oh one が普通の言い方といいます。

④序数と言われる first(1st) second(2nd) third(3rd) fourth(4th)はそれで覚えなければいけないと言われて、ともかく丸暗記でここまで来ましたが、 1回目、2回目、3回目は first time  second time  third time ですが、1度 2度 3度 となると、once  twice  three time になりますね。

⑤one half  one third  one tenth などに言い方は、1/2 1/3 1/10 という「分数」を表します。

また、時間になると、例えば、3時半は、three thirty かhalf past threeというし、3時45分になると、quarter to four になって、さらにパニックになります。

英語圏で暮らすと、このようなことは、難なく覚えるのでしょうが、日本人には頭の痛い英語での「数」の数え方です。 そして・・・

⑥アメリカでは、メートル法でなく、まだまだヤードポンドが生きています。

1oz(オンス:約28g)、1lb(パウンド:約450g)、1pt(パイント:約470ml)や1inch(約25.4mm)、1yrd(ヤード:約0.9m)その他、クオート、ガロン、フィート、マイル、フート・・・など、たまに食品などに表示がありますが、単位の記入法も読み方も馴染みがないし、換算値もイメージしにくいので、これも、わかりにくく、馴染めないことの一つです。

メートル法が施行され、国際単位系がメインになってから、日本でも「坪単価」などの尺貫法が残っているので、これらもアメリカが早くメートルにしろと強く言うこともできないのですが、これらの数字の読み方や習慣が、少なくとも、私の英語力の向上の妨げになっているのは間違いなさそうです。

数の話はいかがだったでしょうか?

→こちらに、8888などのキリ番のナンバープレートが、どのくらいあるのかを調べた内容を書いています。



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