楽しく遊ぶための初心者にもわかる電子工作のヒント 最小限必要なもの

避けては通れない最小限の電気知識(1-2)

  

前のページでは、LEDのための電流制限抵抗について紹介しました。計算に加えて、記号や数式が出てくると、できれば避けて通りたくなるのですが、大切なものですので、サラッと確認しましょう。

ここでは、「オームの法則」と「抵抗の合成」について説明します。


基本的な回路を考えようとすると、(後で、ごく簡単に紹介しますが)「オームの法則」と「抵抗の合成」に加えて、「キルヒホッフの法則」と「重ね合わせの定理」を理解できれば最高なので、それらもあわせて説明にします。少し難しいかもしれませんが、我慢いただき、しばらくご一緒ください。

もちろん、常時このような計算が必要かということではありません。ほとんどは基本的な回路図や制作例があるものですので、考え方だけを知っている程度で充分だと思います。


オームの法則

LED点灯基本回路

前ページに使った図ですが、この図のように、電源の電圧とLEDの仕様(特性)から、オームの法則を用いてRを計算しました。

この「オームの法則」ですが、(中学の理科の授業で習ったはずですが、多分忘れているでしょうが)2つの法則からなっています。

「①導線の電流は両端の電位差に比例し、その比例定数は一定で、その逆数が抵抗である」「②導線の抵抗は長さに比例し、断面積に反比例する」というものです。文字で書くと難しそうですが、

第1法則は 「電流=電圧/抵抗」という式で表され、これが非常に役に立ちます。

第2法則は、1mでAオームの導線は、2mになると2Aオーム、その断面積が2倍になると 抵抗値はA/2オームになるというのです。

このオームさんの功績から、抵抗の単位が「オームΩ」になったということのようですので、すごいものです。

電流はI、電圧はE、抵抗はRと表記されているものや、それぞれA,V,Rと表示されているなどもあリます。覚えやすいもので覚えるようにすればいいでしょう。例えば、

E=IR  I=E/R  R=E/I 

などが簡単に頭に浮かぶようになっているとOKですね。

V=IRとおぼえている方もいるでしょう。また、電圧=電流x抵抗 ですので、どのように覚えてもいいでしょう。

このHPでは直流のアナログ数値しか扱いませんが、それが交流になると、コイルやコンデンサが抵抗のように働くということが出てきますが、直流の場合はいたってシンプルです。

ただ、この直流回路でも約束事があります。実は導線にもいくらかの抵抗があり発熱や電圧降下がありますし、メーターで回路を測ると、メーターに電流が流れるので、回路が影響を受けるのですが、このように、「メーターや導線の影響や抵抗については考えない」ということにして、「常にオームの法則が回路に中で成り立つ」というようにして考えていくようにします。

この「熱」ですが、例えば、家庭のコンセントをタコ足にするのが危険なのは、電線にたくさんの電気が流れると、電線や電気器具にも少しの抵抗があるので、そこで熱が発生して火災などの危険が生じるためですが、発熱によって電流の力が減ると、もちろん、オームの法則は成り立ちません。・・・。

こういう細かいことはこのHPでは考えないで進めるのですが、常にオームの法則が成り立つものとしておいても、このHPの内容では、実用上の問題はないでしょう。


抵抗の合成について

ここでは、2つの抵抗を直列・並列につなぐ場合の抵抗値について見てみましょう。これは、基本となる重要なことです。

1)直列

直列合成抵抗

直列の場合は、足し合わせれば「一つの抵抗」と考えられるということです。これは簡単ですね。

直列にすれば、「抵抗値は増える」イメージが持てれば、ここではこれでOKです。

2)並列

並列合成抵抗

並列の場合は、計算しなければなりませんが、頭の中にイメージできるようにするのが手っ取り早いので、まず、同じ抵抗値のものが2つの場合を考えてみると、例えば、5kΩであれば、合成抵抗は半分の2.5kΩになります。

これを上の式の最終式に当てはめてみると、(5x5)/(5+5)=2.5 になるのがわかりますね。

3kΩと12kΩであれば、(3x12)/(3+12)=36÷15=2.4kΩとなり、「並列にすれば抵抗値は減る」ことがイメージできれば、ここでも、これでOKです。

抵抗が3つになれば、上の式にR3が増えるので、分母を通分するなどの計算が大変ですが、同様に計算できますね。

つぎに、オームの法則の第2法則では、導線の断面積が増えれば抵抗が減り、たくさん電流が流れる・・・というイメージが持てるようであれば、ここでは、全部理解しなくても、必要な時には計算できるので、それでいいでしょう。

変な言い方ですが、私は、多くの場合は計算するよりも、いくつかの抵抗器があれば、測定するほうがてっとり早いので、実際に測るようにしています。ここでは、考え方だけをイメージするだけでいいのではないでしょうか。

これらの関係式の一覧を示します。合成抵抗と電流電圧の基本式

ここでは、直列の場合は、回路に流れる電流が等しい(I=I1=I2)、並列の場合は、各抵抗器に掛かる電圧が等しい(V=V1=V2)というところを覚えておいてください。

この考え方を知っていれば、多くの場合はどうにかなります。さらに「キルヒホッフの法則」と「重ね合わせの定理」について知っているとこのHPレベルでは充分すぎると思います。

以下で少しだけ、どんなものかを紹介しますが、私には少し難しかったのですが、必要なときに、これが使える・・・ということを知っておいてください。(このHPの内容程度では、実際に計算するよりも、測定するほうが手っ取り早いでしょう・・・)

キルヒホッフの法則

①電流に関する法則(第一法則) 
任意の接続点において、流入する電流の和と流出する電流の和は等しい

②電圧に関する法則(第②法則)
閉回路において、「電源電圧の和」と「各抵抗の電圧降下の和」は等しい

というものです。 これを詳しく説明して理解いただくには、かなり紙面が必要ですので、ここでは、こういう場合に必要になるという例を示しておき、後で例題を示して説明します。

実は、あとに示す「重ね合わせの定理」という方法でも、同じ結果が得られます。

キルヒホッフの法則を考える回路例

これら4つの例で、これらの電源と抵抗値が示されると、赤矢印のようにI1~I3の電流が流れて、それが黄色矢印ような流れになるとして、点Aと点Bについてキルヒホッフの法則を使うことでその電流値が計算できるというものです。

①について見てみると、点Aでは、「流入する電流の和と流出する電流の和は等しい」のだから、I2=I1+I3 です。また、点B で見ると、I1+I3=I2 となっています。つまりこれは、キルヒホッフの第一法則になっているということです。

第2法則については、LEDの回路でも見てきたように、電源電圧から抵抗などでの電圧降下を測定して残りの電圧を決めていましたが、まさにそのことです。

次の「重ね合わせの定理」を見てから、かんたんな数字を使って例題を解きます。

重ね合わせの定理

この定理は「複数の電源を用いた回路に流れる電流は、それぞれの電源が単独であると考えると、その電流の和になる」というものです。

実際には、慣れないと、このような見方ができないかもしれませんが、こういうものがある・・・ということで、読み進めましょう。

重ね合わせの法則の考え方

左辺の電源が②つある回路では、電源ごとに回路を分解して、右辺のように考えればいいというものです。これを「重ね合わせの定理」とよんでいます。

(この左辺をよく見ると、キルヒホッフの法則のときの①の回路と同じです。これを使って、キルヒホッフの法則と重ね合わせの定理でも、同じ答えが得られることを後で説明します)

まず上側のE1だけについて考えます。

このときに、対象外の電源E2は、そのまま、それを無視して、ショートして導通しているように考えて、I1aやI1bなどををそれぞれ求めていくという方法を取ります。

このとき、E1に対してI1aはR1と残りが直列になっており、その残りのR2とR3は並列になっていると考えることができるので、この回路

重ね合わせの法則の半分を考える

というように見ます。そうすると、最初の図のI1から別れていったI2aとI3aは

I2a=-[R3/(R2+R3)]xI1a  I3a=R2/(R2+R3)xI1a 

になります。(オームの法則と、抵抗の並列の考え方から、このようになるのが理解できましたか)

このとき、図のようにI2aの電流の向きがその他と逆なのでマイナスにすることに注意します。キルヒホッフの法則でもそうですが、電流の向きを間違うと解けなくなります。

同様にE2の側のI1b I2b I3b を求めます。 次は、I2bが主役なので、E1はないと考えて、

重ね合わせの法則の反対側半分を考える

・・・というようにします。

上のI1aでもそうですが、この図のように、回路に流れる電流値は同じで、ここではI1bが逆向きの電流の流れなので、それに注意するとともに、同様に、R1とR2の部分だけで電流の流れが抵抗の比で分流されるので、

I1b=-[R3/(R1+R3)]xI2b   I3b=R1/(R1+R3)xI2b  

ですので、先のI1aとあわせて、重ね合わせの電流I1 I2 I3は  

I1=I1a+I1b   I2=I2a+I2b   I3=I3a+I3b 

となって、これらが求められることになります。

計算例をあげて説明します。

ここでは、たまたま、キルヒホッフの法則にある回路①と重ね合わせの定理の回路で同じ図がありますね。

つまり、このような回路は、どちらの方法でも解くことができる・・・という紹介をします。この回路ですが、適当な数字を入れて考えてみましょう。

キルヒホッフの法則と重ね合わせの法則の例題1

【重ね合わせの定理で解く】

これは、上で計算した式に当てはめればいいですので、上で計算した順番に数値を当てはめます。ここではわかりやすいように、計算記号や単位を付けています。

I1a=2V/[1Ω+6Ωx3Ω/(6Ω+3Ω)]≒0.67A
I2a=-[3Ω/(6Ω+3Ω]x0.67A=-0.22A
I3a=6Ω/(6Ω+3Ω)x0.67A=0.45A

I2b=3V/[6Ω+1Ωx3Ω/(1Ω+3Ω)≒0.44A
I1b=-[3Ω/(1Ω+3Ω)]x0.44A=-0.33A
I3b=1Ω/(1Ω+3Ω)x0.44A=0.11A

I1=0.67A-0.33A=0.34A
I2=-0.22A+0.44A=0.22A
I3=0.45A+0.11A=0.56A  となります。


【キルヒホッフの法則で解く】
キルヒホッフの法則で問題を解く

キルヒホッフの法則では、点Aと点Bの電流の流れを考えて、第1法則を適用すると、

点A:I3=I1+I2   点B:I1+I2=I3 

となり、I3=I1+I2(式1) と、これにキルヒホッフの第2法則を上下半分ずつに適用するのですが、オームの法則にアタはめて、さらに直列の抵抗となっているので、

E1=I1xR1 + I3xR3    E2=I2xR2 + I3xR3 の3つの式から、

上半分: E1(2V)=I1x1Ω+I3x3Ω (式2)
下半分: E2(3V)=I2x6Ω+I3x3Ω (式3)

となるので、この3つの式の連立方程式でI1,I2,I3 を求めるといいことがわかリます。
ちょっと大変ですが、それを解くと、

I1=0.34A  I2=0.22A  I3=0.56A

となって、上のキルヒホッフの法則で求めた結果と同じになることがわかります。

ここでは3元一次連立方程式を解く必要があるのですが、この記事を書くために、私は何十年ぶりに紙に書いてこれを解いてみました。

忘れていなかったことに自分でも感心したのですが、普段、このような計算は、ほとんどやることはありません。しかし、先人は、このような計算をして、いろいろな回路が考えられてきたということですし、いざとなれば、このように計算できるということだけを知っていればいいでしょう。

何度も言っていますが、大した誤差が問題にならないのであれば、実際には、計算するよりも測定したほうが手っ取り早いでしょう。

以上、ここまでで、回路、抵抗の合成、オームの法則、キルヒホッフの法則などを見てきました。このような内容は、あまり面白くないものなので、これで終わりにしますが、時間があるときにトランジスタのバイアス電圧を求めるための計算についての話を書きたいと思っています。
しかしともかく、これで計算は終わりにします。目次に戻ってみてください。



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