楽しく遊ぶための初心者にもわかる電子工作のヒント 最小限必要なもの

電子工作に最小限必要なこと・・・オームの法則 抵抗の合成(1-2)

  

電子工作の入門書を読むと、理論的なことや電子の挙動などの原理的な内容から始まっているので、これらに抵抗がある人も多いでしょう。

実は私も、このHP記事を書き進めてきて、理論や計算は少し電子工作に慣れてきて、必要があればそのときにやればいい・・・と思います。

例えばオームの法則を知らなくても、最初のうちははんだ付けや工作だけでそれがなくても「結構楽しめる」ものです。

書籍ではあとの方で書くわけにはいかないので、始めに説明するのでしょうが、オームの法則やキルヒホッフの法則などを使う場面はそんなにありません。


それもあって、「オームの法則」と「抵抗の合成」「キルヒホッフの法則」と「重ね合わせの定理」などの内容を書いていたものを、簡単な内容に書き換えました。

本文でも必要に応じて取り上げますので、自然と覚えていけばいいでしょう。

ただ、計算や法則などは考え方を簡単にしたり理解しやすくするものですので、必要になったときは、しっかりと書籍で学ぶのが得策です。

オームの法則

LED点灯基本回路

これは前ページで使った図です。 電源の電圧とLEDの仕様(特性)から、オームの法則を用いてRの値が計算できます。

(実は、右図は少しおかしいところがあります。最後の方でこれを説明します)

「オームの法則」を使うと、電圧、電流、抵抗のうちの2つがわかれば、残りが計算できます。

この「オームの法則」は、2つの法則からなっています。

「①導線の電流は両端の電位差に比例し、その比例定数は一定で、その逆数が抵抗である」「②導線の抵抗は長さに比例し、断面積に反比例する」というものです。

文字で書くと難しそうですが、

第1法則は 「電流=電圧/抵抗」という式で表され、これが非常に役に立ちます。

第2法則は、1mでAオームの導線は、2mになると2Aオーム、その断面積が2倍になると 抵抗値はA/2オームになるという内容です。


回路においては、「常にオームの法則が成り立つ」として進めるのが基本になっています。

すなわち、オームの法則が成り立っているとすると、導線などの抵抗や影響は考えないということも暗黙の了解になります。

ここで、電流はI、電圧はE、抵抗はRと表記されているものや、それぞれA,V,Rと表示されているなどもあリます。 いずれでもいいので、覚えやすいもので覚えるようにすればいいでしょう。 例えば、

電圧(V)=電流(A)x抵抗(Ω) から この単位を基本にしていることと、

E=IR  I=E/R  R=E/I 

V=AR  A=V/R  R=V/A

などが自分の覚え方で簡単に頭に浮かぶようになっているとOKですね。

V=IRとおぼえている方もいるでしょうし、また、電圧=電流x抵抗 と覚えているかもしれません。どのように覚えてもいいので、頭の中で理解出来れば、いずれでもいいでしょう。

このHPでは直流のアナログ数値しか扱いませんが、交流になると、コイルやコンデンサが抵抗のように働くのでややこしくなるのですが、直流の場合はシンプルです。当面は、このHPは、直流のみですので理解しやすいと思います。

直流回路で実際に回路を組んで測定すると、導線にも抵抗があり発熱や電圧降下があるし、メーター(精密テスターなど)で回路を測っても、回路が影響を受けて、変な数値になることもあります。

しかし、私達が行う回路では、「メーターや導線の影響や抵抗については考えない」ということにして、「常にオームの法則が回路に中で成り立つ」というようにしても問題が出ることはほとんどありませんし、テスターなどで測定する値は「正しい」として余計なことを考えないようにします。

この、電線の抵抗とそれに流れる電流によって発生する「熱」は馬鹿にできません。 例えば、家庭のコンセントをタコ足にしてたくさんの電気を使うと、電線や電気器具自体にも少しの抵抗があるので、そこで熱が発生して火災などの危険が生じます。

このHPでは、低電流低電圧しか扱っていないものの、それでも、1/8Wなどの小さい抵抗器が熱を持っていることがあります。

熱による温度変化で抵抗値自体が変化するなどの問題もありますが、それ以上に、発熱には気をつけておきましょう。 

ともかく、そんな場合でも、オームの法則は成り立っているとして計算するのです。

なぜ上の図がおかしい?

上の回路図で、LEDの電流制限抵抗を220Ωにしました。 じつは、少しおかしいので、これについての説明が必要です。

①LEDは、1.9Vの電圧降下があると仮定し、 ②LEDには10mA程度の電流を流すとし、 ③抵抗とLEDを直列につなぐと、同じ電流が流れる ・・・ という仮定からオームの法則を使って抵抗値が算出できます。 

抵抗にかかる電圧が(5-1.9)V で、そこに10mA流れればいいので、R=E/I から310Ωの抵抗を使えばいい・・・と計算されます。

しかし、ここでは220Ωになっています。 なぜでしょう。 

310Ωの固定抵抗は市販されていないこともあって、ここでは330Ωのものを使って比較してみましょう。

電流制限抵抗を替えた時の回路測定例

赤字が220Ωで、青字が330Ωのときの実測値です。

測定するたびに電源電圧も違いますし、LEDを1.9V・10mAとしたのですが実測すると違っています。 さらに、直列に抵抗・LEDをつないでいるので、回路中に流れる電流は等しいはずですが、これも測定値が異なっている箇所がありますし、市販の抵抗値も指定の数値になっていません。・・・。 

さらに、オームの法則を使った計算値と実測値が合致しません。

測定しても、計算しても、いろいろな邪魔が入るので、正しい値を求めるというのは難しいことで、このような「何が正しいのかわからない」ということが起きて当然です。

ちなみに、たまたま流れる電流値が同じだった青字の場合で、LEDの電圧降下2.03V、電源電圧4.94V、流れる電流8.7mA を使って、オームの法則から抵抗器の適性抵抗を計算してみると、R=E/I から、 (4.94-2.03)/0.0087=334.48・・・となり、この実測値は325Ωと、全く異なっていますね。

実は、このように、これからやろうとしている電子工作にはこのような「適当」なところも出てきます。ちょっと頭にとどめておいてください。

そこでオームの法則に話を戻しますが・・・

法則に基づいて計算することは「便利な道具を使う」ということで、別に、測定が簡単であれば、それを使わなくてもいいことになります。

法則は、早く簡単に数値を得る方法の一つということですので、手段として使えばいいので、ここでは説明しないキルヒホッフの法則なども、試行錯誤したり測定したりできない場合はその時になってから勉強してもいいと思います。

、多分、趣味の電子工作では使うことがない感じもしています。

ここで取り上げる回路などは、メーカーや優れた先人が苦労して作ってくれたものですし、あるいは、それをちょっとだけアレンジして使用させていただくのですから、未知の回路を作るのとは違って、試行錯誤や測定していけばほとんど間に合いそうです。

上の抵抗値の例では、固定の抵抗器は飛び飛びの値のものしか販売されていません。 抵抗器は、E系列という数列にそって作ることが決められているのですが、下の写真はセットの例でも、E系列に沿っているというよりも、使いやすそうなものがセットされています。

だから、適当でいいということですね。

このような抵抗器のセットを1つ購入しておいて、いろいろな抵抗を持っていると、ちょっとした実験が簡単にできますし、もしも、適当な抵抗器がなくても、流れる電流が小さければ、可変抵抗器(半固定抵抗器)でも代用できますね。

多回転の半固定抵抗器を使えば、かなり小さな抵抗まで調節可能です。

抵抗器のセット例

さらに余談ですが、この写真の左下に「0Ω」というのがあるのが見えますか? 確かにこれをテスターで測ると0Ωです。 意外と「0Ω」はしばしば見かけるのですが、ジャンパー線にしておけばいいものを、これは面白いですね。

オームの法則がいろいろ飛んでしまいましたが、次は抵抗の合成についての簡単な説明です。


抵抗の合成について

ここでは、2つの抵抗を直列・並列につなぐ場合の抵抗値について見てみましょう。

これは、基本となる重要なことで、よく使う場面は出てきます。 

直列の抵抗値は、足せばいいだけで、私もよく使います。しかし、並列の計算は分数の計算なので少し大変です。 しかしこれも、やり方を覚えておいて、必要になれば計算できるようにしておけばいいでしょう。

絶対に、3つの分数計算を見るだけで計算するのは嫌になりますよね。

1)直列

直列合成抵抗

直列の場合は、足し合わせれば「一つの抵抗」と考えられるということで、これは簡単です。

直列にすれば、「抵抗値は増える」イメージが持てれば、ここではこれでOKです。

2)並列

並列合成抵抗

並列の場合は、計算しなければなりませんが、EXCELを使うのもいいですし、同じ抵抗値のものが2つの場合では、例えば、5kΩであれば、合成抵抗は半分の2.5kΩになるというのを直感できるだけでも、かなり実用的です。

これを上の式の最終式に当てはめてみると、(5x5)/(5+5)=2.5 になるのがわかります。半分の抵抗値を得るのは簡単です。

3つの並列を考えましょう。簡単なように1kΩの場合は、2つを並列にすると半分の0.5kΩで、0.5kΩと1kΩの並列は、0.5x1/(0.5+1)=0.5/1.5≒0.33・・・で、1/3になることがわかります。

さらに4つの場合は、0.333x1/(0.333+1)=0.25 と、1/4になるので、これを覚えておくと、結構助かります。

3kΩと12kΩであれば少し計算が大変ですが、(3x12)/(3+12)=36÷15=2.4kΩとなり、ともかく「並列にすればどれよりも抵抗値は減る」ことがイメージできれば、必要なときに計算すればいいのですから。


オームの法則の第2法則

オームの法則の第2法則は導線の断面積が増えれば抵抗が減り、たくさん電流が流れる・・・というイメージです。

ここでも、これもここでは計算しませんが、計算で求められる・・・ということを知っておいてください。

これらの抵抗と電流電圧関係を一覧にすると、次のようになります。合成抵抗と電流電圧の基本式

ここでは、直列の場合は、回路に流れる電流が等しい(I=I1=I2)、並列の場合は、各抵抗器に掛かる電圧が等しい(V=V1=V2)というところが重要です。

これはよく使います。覚えておいてください。

以上ですが、記事で出てきたら説明しますし、多分、計算などをしなくてもそれなりに理解できますので、以上の説明で終わりにします。

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*********これから下は、参考事項として残しました。

「私が頑張った記録です」  

下に「キルヒホッフの法則」または「重ね合わせの定理」について書いていますが、私も記事を書くために計算したものの、簡単に計算できるようなものではありませんでした。 研究や設計場面では必要かもしれませんが、趣味の電子工作ではとくに勉強することもなく、必要な時に勉強すればいい感じですが、こんなことか・・・と読み流していただけるだけでもうれしいです。

ともかく、この記事を書くために、何十年ぶりで連立3元1次方程式を解いたのですが、それが解けたのもびっくりでした。 月日の流れは恐ろしいのですが、中学生で習ったことを何十年たっても覚えていたことにびっくりしましたので、私の頑張ったこととして、本記事にしないでこの記事を残しました。

キルヒホッフの法則

①電流に関する法則(第一法則) これを略して「キルヒ則①」という人もいます。
任意の接続点において、流入する電流の和と流出する電流の和は等しい

②電圧に関する法則(第二法則) これも「キルヒ則②」ともいわれます。
閉回路において、「電源電圧の和」と「各抵抗の電圧降下の和」は等しい

というものです。 ここでは、こういう場合にこのようにすれば良い・・・という例を、例題で説明します。

実は、あとに示す「重ね合わせの定理」という方法を使っても、同じ答えが求められます。

キルヒホッフの法則を考える回路例

これら4つの例で、これらの電源と抵抗値が示されると、赤矢印のようにI1~I3の電流が流れて、それが黄色矢印ような流れになるとして、点Aと点Bについてキルヒホッフの法則を使うことでその電流値が計算できます。

①について見てみると、点Aでは、「流入する電流の和と流出する電流の和は等しい(キルヒ則①)」ので、I2=I1+I3 です。また、点B で見ると、I1+I3=I2 となっています。

重ね合わせの定理

この定理は「複数の電源を用いた回路に流れる電流は、それぞれの電源が単独であると考えると、その電流の和になる」というものです。

回路の半分ずつを計算できる・・・という考え方ですが、字で書くとわかりにくい内容ですが・・・

重ね合わせの法則の考え方

左辺の電源が②つある回路では、電源ごとに回路を分解して、右辺のように考えればいいというものです。これを「重ね合わせの定理」とよばれています。

この左辺をよく見ると、キルヒホッフの法則のときの①の回路と同じです。だからここでは、キルヒホッフの法則と重ね合わせの定理で、同じ答えが得られることを示そうと思います。

考え方としては、まず上側のE1だけについて考えます。

このときに、対象外の電源E2は、そのまま、それを無視して、ショートして導通しているように考えて、I1aやI1bなどををそれぞれ求めていくという方法を取ります。(この理解には結構な壁があります・・・私はよくわからないので、「そんなものだ・・・」とスルーしました)

このとき、E1に対してI1aはR1と残りが直列になっており、その残りのR2とR3は並列になっていると考えることができるので、この回路は、・・・

重ね合わせの法則の半分を考える

というように見ることができます。 そうすると、最初の図のI1aから別れていったI2aとI3aは

I2a=-[R3/(R2+R3)]xI1a  I3a=R2/(R2+R3)xI1a 

になります。(オームの法則と、抵抗の並列の考え方から、このようになるのですが、私は、「こんなものだと考えて先に進みました)

このとき、図のようにI2aの電流の向きがその他と逆なのでマイナスにすることに注意します。キルヒホッフの法則でもそうですが、電流の向きを間違うと解けなくなります。

同様にE2の側のI1b I2b I3b を求めます。 次は、I2bが主役なので、この場合のE1はないと考えると、(この「ない」と考えるのも難しいのですが・・・)

重ね合わせの法則の反対側半分を考える

・・・というように考えて計算します。

上のI1aでもそうですが、この図のように、回路に流れる電流値は同じで、ここではI1bが逆向きの電流の流れなので、それに注意するとともに、同様に、R1とR2の部分だけで電流の流れが抵抗の比で分流されるので、

I1b=-[R3/(R1+R3)]xI2b   I3b=R1/(R1+R3)xI2b  

ですので、先のI1aとあわせて、重ね合わせの電流I1 I2 I3は  

I1=I1a+I1b   I2=I2a+I2b   I3=I3a+I3b 

となって、これらが求められることになります。

難しい内容ですが、具体例で計算してみましょう

ここでは、たまたま、キルヒホッフの法則にある回路①と重ね合わせの定理の回路で同じ図がありますね。

つまり、このような回路は、どちらの方法でも解くことができるということです。

回路に適当な数字を入れて考えてみましょう。

キルヒホッフの法則と重ね合わせの法則の例題1

【これを「重ね合わせの定理」で解く】

これは、上で計算した式に当てはめればいいので、上で計算した順番に数値を当てはめます。ここではわかりやすいように、計算記号や単位を付けています。

I1a=2V/[1Ω+6Ωx3Ω/(6Ω+3Ω)]≒0.67A
I2a=-[3Ω/(6Ω+3Ω]x0.67A=-0.22A
I3a=6Ω/(6Ω+3Ω)x0.67A=0.45A

I2b=3V/[6Ω+1Ωx3Ω/(1Ω+3Ω)≒0.44A
I1b=-[3Ω/(1Ω+3Ω)]x0.44A=-0.33A
I3b=1Ω/(1Ω+3Ω)x0.44A=0.11A

I1=0.67A-0.33A=0.34A
I2=-0.22A+0.44A=0.22A
I3=0.45A+0.11A=0.56A  となります。


【同じものを「キルヒホッフの法則」で解く】

キルヒホッフの法則で問題を解く

キルヒホッフの法則では、点Aと点Bの電流の流れを考えて、第1法則を適用すると、

点A:I3=I1+I2   点B:I1+I2=I3 

となり、I3=I1+I2(式1) と、これにキルヒホッフの第2法則を上下半分ずつに適用するのですが、オームの法則にアテはめて、さらに直列の抵抗となっているので、

E1=I1xR1 + I3xR3    E2=I2xR2 + I3xR3 の3つの式から、

上半分: E1(2V)=I1x1Ω+I3x3Ω (式2)
下半分: E2(3V)=I2x6Ω+I3x3Ω (式3)

となるので、この3つの式の連立方程式でI1,I2,I3 を求めるといいことがわかリます。
・・・のですが、ちょっと大変な計算でした。 それを解くと、

I1=0.34A  I2=0.22A  I3=0.56A

となって、上のキルヒホッフの法則で求めた結果と同じになることがわかります。

ここでは3元一次連立方程式を解くことになります。

書籍などには、「キルヒ則」といって、これがしばしば出てきます。ともかく、こういうものだということを知っておいて、必要があれば計算に挑戦すると「頭の体操」になるかもしれませんね。

ここまでで、回路、抵抗の合成、オームの法則、キルヒホッフの法則などを見てきました。このような内容は、正直言ってあまり面白くないものなのですが、書籍を見ると前の方にあって、やらなければいけない感じをもたせるのですが、実施に計算するのは意外と大変です。この記事は私の努力の結果として残していますが、お読みいただいたのならすみません。 これで終わりにします。

  

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